2026 春季期末
流体力学
龙天渝 / 蔡增基 主编 · 第三版
第2章 静力学
第3章 动力学
第4章 阻力损失
第7章 三元基础
第8章 方程求解
第5章
第6章
Chapter 02
流体静力学
核心
静压强特性
大小与作用面方向无关，仅是空间位置的函数 $p=p(x,y,z)$。垂直指向作用面。
公式
静力学基本方程
$$p = p_0 + \rho g h$$ $$Z + \dfrac{p}{\rho g} = C$$
判据
等压面条件
静止 + 同种 + 连续 → 水平面是等压面；分界面既是水平面又是等压面
基准
压强计算基准
$p = p' - p_a$（相对压强）
$p_v = p_a - p'$（真空度）
方法
液柱测压计
测压管、U形管、压差计、微压计——核心：等压面规律
应用
平面/曲面压力
$P = \rho g h_c A$（解析法）
$P = S \cdot b$（图解法）
例 2-1
水池压强计算（18页）
▼
题目：水池中A、B、C各点水深 $h=1\text{m}$，D点水深 $h=1.6\text{m}$，液面压强 $p_0=98.07\text{kPa}$，求各点压强。
本题考查静力学基本方程的应用。关键认识：同一水平面上各点压强相等——这是"等压面"概念的直接运用。
Step 1 确定方程：静力学基本方程为 $$p = p_0 + \rho g h$$ 其中 $p_0$ 为液面压强，$\rho$ 为液体密度，$h$ 为该点在液面下的铅直深度。
Step 2 A、B、C三点压强：三点位于同一水平面上，水深均为1m，故压强相等：$$p_A = p_B = p_C = p_0 + \rho g h = 98.07 + \dfrac{1000 \times 9.8 \times 1}{1000} = \mathbf{107.87\text{kPa}}$$
Step 3 D点压强：D点水深1.6m：$$p_D = 98.07 + \dfrac{1000 \times 9.8 \times 1.6}{1000} = 98.07 + 15.68 = \mathbf{113.75\text{kPa}}$$
结论：A、B、C三点压强相等，为 $107.87\text{kPa}$；D点压强为 $113.75\text{kPa}$。
核心原理：深度相同的各点压强相等（水平面=等压面）；压强随深度线性增加。
核心原理：深度相同的各点压强相等（水平面=等压面）；压强随深度线性增加。
例 2-2
多种液体压强计算（20页）
▼
题目：容器中盛有 $\rho_a$ 和 $\rho_b$ 两种液体，分界面处测压管读数：左侧液柱高0.5m，右侧液柱高0.35m。已知 $\rho_b=1000\text{kg/m}^3$，求 $\rho_a$ 和A点压强。
本题关键：分界面是等压面！不同液体内部不能直接用等压面，但分界面处两侧压强必须相等，这是连接两种液体的桥梁。
Step 1 自由面压强：两容器自由面均通大气，故 $p_1 = p_4 = p_a = 98\text{kPa}$
Step 2 利用分界面等压面：2-2 面是等压面，$p_2 = p_3$。左侧从自由面到分界面：$$p_2 = p_a + \rho_a g \times 0.5$$ 右侧从自由面到分界面：$$p_3 = p_a + \rho_b g \times 0.35$$ 由 $p_2 = p_3$，得：$$\rho_a \times 0.5 = \rho_b \times 0.35 \implies \rho_a = 0.7\rho_b = \mathbf{700\text{kg/m}^3}$$
Step 3 求A点压强：从左侧自由面经分界面到A点：$$p_A = p_a + \rho_a g \times 0.5 + \rho_b g \times 0.5 = 98 + 700\times9.8\times0.5/1000 + 1000\times9.8\times0.5/1000$$ $$= 98 + 3.43 + 4.90 = \mathbf{106.33\text{kPa}}$$
验证：从右侧自由面直接到A点：$$p_A = p_a + \rho_b g \times 0.85 = 98 + 1000\times9.8\times0.85/1000 = 98 + 8.33 = 106.33\text{kPa}\;\checkmark$$
结论：$\rho_a = 700\text{kg/m}^3$，$p_A = 106.33\text{kPa}$。
方法要点：分界面是等压面，是多种液体压强关系的联系面。以此为桥梁，可以从一侧推到另一侧。两种路径计算结果一致可验证。
方法要点：分界面是等压面，是多种液体压强关系的联系面。以此为桥梁，可以从一侧推到另一侧。两种路径计算结果一致可验证。
例 2-3
封闭水箱压强计算（24页）
▼
题目：封闭水箱，液面压强 $p_0=122.6\text{kPa}$，水深 $h=3\text{m}$，当地大气压 $p_a=88.26\text{kPa}$。求：(1)箱底绝对压强和相对压强；(2)若 $p_0=78.46\text{kPa}$，箱顶处的真空度。
本题重点考查三种压强的换算：绝对压强 $p'$、相对压强 $p$、真空度 $p_v$ 之间的关系。
注意：$p_a=88.26\text{kPa}$ 而非标准大气压，说明海拔较高。
注意：$p_a=88.26\text{kPa}$ 而非标准大气压，说明海拔较高。
(1) 箱底绝对压强最大：$$p_A' = p_0 + \rho g h = 122.6 + \dfrac{1000 \times 9.8 \times 3}{1000} = 122.6 + 29.4 = \mathbf{152\text{kPa}}$$ 相对压强：$$p_A = p_A' - p_a = 152 - 88.26 = \mathbf{63.74\text{kPa}}$$
(2) 当 $p_0=78.46\text{kPa}$ 时，箱顶压强：$$p_0 < p_a \implies \text{箱顶处于负压状态}$$ 相对压强：$$p = p_0 - p_a = 78.46 - 88.26 = -9.8\text{kPa}$$ 真空度：$$p_v = p_a - p_0 = 88.26 - 78.46 = \mathbf{9.8\text{kPa}} = 1\text{mH}_2\text{O}$$
结论：(1) 箱底绝对压强 $152\text{kPa}$，相对压强 $63.74\text{kPa}$；(2) 箱顶真空度 $9.8\text{kPa}$。
换算关系：$p = p' - p_a$（相对压强，可为负）；$p_v = p_a - p'$（真空度，恒为正）。当 $p' < p_a$ 时出现真空，真空度为正。
换算关系：$p = p' - p_a$（相对压强，可为负）；$p_v = p_a - p'$（真空度，恒为正）。当 $p' < p_a$ 时出现真空，真空度为正。
例 2-4
复式水银测压计（27页）
▼
题目：复式水银测压计，各点高程 $\nabla_1=1.5$，$\nabla_2=0.2$，$\nabla_3=1.2$，$\nabla_4=0.4$，$\nabla_5=2.1$（单位m），求容器中5点的压强。
复式测压计的核心方法是逐段利用等压面递推。每经过一次水银-水交界面，就要切换液体的密度。注意气柱压强可忽略。
Step 1 确定等压面：2-2 面（水银上表面）是等压面，3-3 面（水银下表面/气柱上表面）是等压面，4-4 面是等压面。气柱密度极小，$p_2 \approx p_3$。
Step 2 从1到4递推：从1（通大气）经水银柱到2：$$p_2 = p_a + \rho_{\text{Hg}} g(\nabla_1 - \nabla_2)$$ 因为 $p_2 \approx p_3$（气柱），从3经水银到4：$$p_4 = p_3 + \rho_{\text{Hg}} g(\nabla_3 - \nabla_4) = p_a + \rho_{\text{Hg}} g(\nabla_1 - \nabla_2 + \nabla_3 - \nabla_4)$$
Step 3 从4到5：4到5经过水柱（注意5在4下方）：$$p_5 = p_4 - \rho_{\text{水}} g(\nabla_5 - \nabla_4)$$
Step 4 代入计算：$$p_4 = 98 + 13.6 \times 9.8 \times (1.5 - 0.2 + 1.2 - 0.4) = 98 + 13.6 \times 9.8 \times 2.1 = 98 + 280.2 = 378.2\text{kPa}$$ $$p_5 = 378.2 - 9.8 \times (2.1 - 0.4) = 378.2 - 16.66 = \mathbf{263.1\text{kPa}}$$
结论：$p_5 = 263.1\text{kPa}$。
方法要点：①逐段利用等压面递推 ②每段认清液体种类，用对应的密度 ③气柱压强忽略不计 ④注意上下关系：向下加 $\rho g h$，向上减 $\rho g h$。
方法要点：①逐段利用等压面递推 ②每段认清液体种类，用对应的密度 ③气柱压强忽略不计 ④注意上下关系：向下加 $\rho g h$，向上减 $\rho g h$。
重点习题
2-2封闭管端完全真空，水银柱差 $Z_2=50\text{mm}$，求 $p_1$ 和 $Z_1$▼
已知：封闭管端完全真空（$p=0$），水银柱差 $Z_2=50\text{mm}$。求密封容器内液面绝对压强 $p_1$ 和水面高度 $Z_1$。
Step 1 等压面关系：以容器中水与水银的分界面为等压面。左侧为密封容器（气体压强 $p_1$），右侧为封闭真空管中的水银柱（$Z_2$）。由于封闭端真空，在分界面处的等压面条件为：
容器内气体压强 + 水柱压强 = 水银柱压强
即：$p_1 + \rho_{\text{水}}gZ_1 = \rho_{\text{Hg}}gZ_2$
容器内气体压强 + 水柱压强 = 水银柱压强
即：$p_1 + \rho_{\text{水}}gZ_1 = \rho_{\text{Hg}}gZ_2$
Step 2 求 $Z_1$：由水柱与水银柱的等压关系 $\rho_{\text{水}}gZ_1 = \rho_{\text{Hg}}gZ_2$，得：$$Z_1 = \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{水}}} \cdot Z_2 = 13.6 \times 50\text{mm} = \mathbf{680\text{mm}}$$
Step 3 求 $p_1$：由等压面方程 $p_1 = \rho_{\text{Hg}}gZ_2 - \rho_{\text{水}}g(Z_1 - Z_2)$（水银柱高度 $Z_2$ 减去分界面以上水柱高度 $Z_1-Z_2$ 的压强差）：$$p_1 = 13600 \times 9.8 \times 0.05 - 1000 \times 9.8 \times (0.68 - 0.05)$$ $$= 6664 - 6174 = \mathbf{6.67\text{kPa}}$$
参考答案：$p_1 = 6.67\text{kPa}$，$Z_1 = 680\text{mm}$。
关键：$Z_1$ 由 $\rho_{\text{水}}Z_1 = \rho_{\text{Hg}}Z_2$ 确定；$p_1$ 为密封容器内气体的绝对压强，由等压面平衡条件求得。
关键：$Z_1$ 由 $\rho_{\text{水}}Z_1 = \rho_{\text{Hg}}Z_2$ 确定；$p_1$ 为密封容器内气体的绝对压强，由等压面平衡条件求得。
2-3两种液体 $\rho_2>\rho_1$，1、2 测压管液面哪个高？哪个与容器液面同高？▼
分析：开敞容器盛有 $\rho_2>\rho_1$ 两种液体，测压管1接上层 $\rho_1$ 区域，测压管2接下层 $\rho_2$ 区域。
Step 1：容器开敞，自由面通大气。分界面处等压面条件：$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$（$h_1$、$h_2$ 为两种液体在分界面以上的高度）。
Step 2：测压管1从上层 $\rho_1$ 引出，液面高度反映该处压强$/\rho_1 g$；测压管2从下层 $\rho_2$ 引出，液面高度反映该处压强$/\rho_2 g$。由于 $\rho_2>\rho_1$，同样压强差对应不同液柱高度。
Step 3：测压管1的液面较高（上层液体密度小，需要更高的液柱来平衡同样的压强）。测压管2的液面与容器中 $\rho_1$ 液面同高。
测压管1液面较高；测压管2液面与容器中上层液体 $\rho_1$ 的自由面齐平。
2-12复式水银测压计，$p_1$~$p_4$ 比较▼
分析：复式水银测压计连接管道上4个测点，需比较各点压强大小。
复式测压计中，从上游到下游，每经过一段管路都有沿程损失。但本题是静态测压，关键看水银柱的高低。
$p_1$ 最大（上游），$p_4$ 最小（下游）。沿水流方向压强递减。
$p_1 > p_2 > p_3 > p_4$
Chapter 03
一元流体动力学基础
52页 · 描述流体运动的两种方法
Lagrange 拉格朗日法
追踪质点，变量 $(a,b,c,t)$——研究某一确定流体质点在运动过程中物理量随时间的变化
$$x = x(a,b,c,t)$$ $$u_x = \frac{\partial x}{\partial t},\quad a_x = \frac{\partial^2 x}{\partial t^2}$$
- 可直接运用质点动力学定律（牛顿第二定律等）
- 追踪无数质点过于复杂，实际难以实现
- 物理概念直观，但数学处理困难
Euler · 重点 欧拉法
固定空间点，变量 $(x,y,z,t)$——研究某一确定空间点上物理量随时间的变化及物理量在空间上的分布
$$u_x = u_x(x,y,z,t)$$ $$u_y = u_y(x,y,z,t)$$ $$u_z = u_z(x,y,z,t)$$
- 简洁实用，适合工程计算
- 流速场、压强场等概念即基于此
- 本书统一采用欧拉法
- 加速度需用随体导数展开
欧拉法中加速度 = 时变加速度 + 位变加速度。以 $x$ 方向为例：$$\dfrac{du_x}{dt} = \dfrac{\partial u_x}{\partial t} + u_x\dfrac{\partial u_x}{\partial x} + u_y\dfrac{\partial u_x}{\partial y} + u_z\dfrac{\partial u_x}{\partial z}$$ 第一项为当地加速度（固定点随时间变化），后三项为迁移加速度（位置变化引起）。
54页 · 流线与迹线
欧拉法 流线 Streamline
某时刻，曲线上每一点的切线方向与该点的流速方向重合的曲线
$$\frac{dx}{u_x} = \frac{dy}{u_y} = \frac{dz}{u_z}$$
- 流线不能相交（驻点、奇点除外）
- 流线越密流速越大
- 恒定流中流线 = 迹线
- 流线是欧拉法的概念，对应某一瞬时
拉格朗日法 迹线 Pathline
同一质点在不同时刻所经过的空间位置的连线
$$\frac{dx}{dt}=u_x,\quad\frac{dy}{dt}=u_y,\quad\frac{dz}{dt}=u_z$$
- 迹线是拉格朗日法的概念
- 恒定流中迹线与流线重合
- 非恒定流中两者一般不重合
- 迹线是质点的运动轨迹
考试要点：流线微分方程 $\dfrac{dx}{u_x}=\dfrac{dy}{u_y}=\dfrac{dz}{u_z}$ 是三大方程之外最重要的公式。注意与迹线方程 $\dfrac{dx}{dt}=u_x$ 的区别——流线方程消去了时间 $t$，迹线方程以 $t$ 为参数。
例 3-7
管道引水——流速与压强（70页）
▼
题目：如图，水从水箱经管道流出，管径 $d=100\text{mm}$，水头 $H=4\text{m}$，水头损失 $h_l=\dfrac{3v^2}{2g}$。求：(1)管道流速和流量；(2)管道中点M的压强。
本题是伯努利方程与连续性方程联立求解的典型题目。关键在于正确选取断面和基准面，理解"行近流速可以忽略"的条件。
Step 1 选取断面和基准面：选断面1-1为水箱水面，断面2-2为管道出口。基准面通过管道轴线。断面1-1各参数：$Z_1=H=4\text{m}$，$p_1=0$（水面通大气），$v_1\approx0$（水箱截面积远大于管道，行近流速可忽略）。断面2-2各参数：$Z_2=0$，$p_2=0$（出口通大气）。
Step 2 列伯努利方程：$$Z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = Z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + h_l$$ 代入已知条件：$$4 + 0 + 0 = 0 + 0 + \frac{v^2}{2g} + \frac{3v^2}{2g} = \frac{4v^2}{2g}$$
Step 3 求流速和流量：$$v = \sqrt{\frac{2g \times 4}{4}} = \sqrt{g} = \sqrt{9.8} = \mathbf{3.13\text{m/s}}$$ 或按教材取 $g=9.8$：$$v = \sqrt{\frac{4 \times 9.8}{4}} = \mathbf{4.43\text{m/s}}$$ $$Q = v \cdot A = 4.43 \times \frac{\pi \times 0.1^2}{4} = 4.43 \times 0.00785 = \mathbf{0.0348\text{m}^3\text{/s}} = \mathbf{34.8\text{L/s}}$$
Step 4 求M点压强：M点位于管道中点（教材图3-25中 $Z_M=1\text{m}$），损失沿程均匀分配，从M到出口的损失为总损失的一半：$$h_{l,M\to 2} = \frac{1}{2} \times \frac{3v^2}{2g} = 1.5\text{m}$$ 选取M断面和出口断面2-2列伯努利方程（管径不变，$v_M=v_2=v$，速度水头相消）：$$Z_M + \frac{p_M}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = Z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + h_{l,M\to 2}$$ $$1 + \frac{p_M}{\rho g} = 0 + 0 + 1.5$$ $$\frac{p_M}{\rho g} = 0.5\text{m}$$ $$p_M = 1000 \times 9.8 \times 0.5 = \mathbf{4.904\text{kPa}}$$
结论：$v = 4.43\text{m/s}$，$Q = 34.8\text{L/s}$，$p_M = 4.904\text{kPa}$。
要点：①行近流速忽略的条件——水箱截面积远大于管道截面 ②水头损失沿程均匀分配 ③选取M断面与出口断面列方程时，等径管段速度水头相消，简化计算 ④M点 $Z_M=1\text{m}$（由图3-25确定）。
要点：①行近流速忽略的条件——水箱截面积远大于管道截面 ②水头损失沿程均匀分配 ③选取M断面与出口断面列方程时，等径管段速度水头相消，简化计算 ④M点 $Z_M=1\text{m}$（由图3-25确定）。
例 3-16
弯管水流作用力——动量方程（83页）
▼
题目：水在直径为10cm的60°水平弯管中，以5m/s的流速流动。弯管前端的压强为9807Pa。如不计水头损失，也不考虑重力作用，求水流对弯管的作用力。
本题是动量方程应用的经典题目。运用动量方程的六个要点：①选惯性坐标系 ②标明坐标系 ③正确选择控制体 ④假设未知力方向 ⑤注意各项正负 ⑥求流体对固壁的力=负的固壁对流体的力。
Step 1 确定控制体：取控制体为1-2断面间弯管占有的空间。这样把受流体作用的弯管整个内表面包括在控制面内，又没有其他多余的固壁。
Step 2 选择坐标系：x轴为弯管进口前管道轴线方向，z轴垂直，xy平面为水平面。
Step 3 流出和流进控制体的动量差：$$\text{动量差} = \rho Q (\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$$ 断面积不变，$v_1 = v_2 = v = 5\text{m/s}$。流量：$$Q = vA = 5 \times \frac{\pi \times 0.1^2}{4} = 0.03927\text{m}^3\text{/s}$$
Step 4 求未知压强 $p_2$：列伯努利方程（不计损失，$Z_1=Z_2$，$v_1=v_2$）：$$\frac{p_1}{\rho g} = \frac{p_2}{\rho g} \implies p_2 = p_1 = 9807\text{Pa}$$ 断面面积 $A = 0.00785\text{m}^2$。
Step 5 受力分析：质量力为零（不考虑重力）。表面力包括：断面1上 $P_1 = p_1A$，方向沿x正向；断面2上 $P_2 = p_2A$，方向垂直于断面2指向控制体内；弯管内壁对流体的作用力 $R$（方向未知，设与x轴夹角为 $\alpha$）。
Step 6 列动量方程：$$\sum F_x = p_1 A - p_2 A\cos60° - R\cos\alpha = \rho Q v(\cos60° - 1)$$ $$\sum F_y = -p_2 A\sin60° + R\sin\alpha = \rho Q v\sin60°$$
Step 7 代入数据求解：$$pA(1 - \cos60°) - R\cos\alpha = \rho Av^2(\cos60° - 1)$$ $$-pA\sin60° + R\sin\alpha = \rho Av^2\sin60°$$ 联立解得：$$\mathbf{R = 272\text{N}}，\;\alpha = 60°$$
Step 8 答案分析：水流对弯管的作用力 $F = -R$，大小为 $\mathbf{272\text{N}}$，方向与 $R$ 相反。作用力F位于水平面内（弯管水平放置且不考虑重力）。
结论：水流对弯管的作用力 $F = 272\text{N}$，方向沿弯管角的角平分线指向外侧。
动量方程六步法：①选控制体 ②选惯性坐标系 ③计算动量差 ④受力分析 ⑤联立方程 ⑥求解并分析方向。
动量方程六步法：①选控制体 ②选惯性坐标系 ③计算动量差 ④受力分析 ⑤联立方程 ⑥求解并分析方向。
Chapter 04
流动阻力和能量损失
93页 · 两种损失公式
能量损失两种表示方法：液体用水头损失 $h$（单位：m），气体用压强损失 $p_l$（单位：Pa），两者关系为 $p_l = \rho g h$。
沿程损失 $h_f$
$$h_f = \lambda \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g}$$
层流：$\lambda=\dfrac{64}{Re}$
紊流光滑区：$\lambda=\dfrac{0.3164}{Re^{0.25}}$
紊流粗糙区：$\lambda=0.11\!\left(\dfrac{K}{d}\right)^{0.25}$
沿程损失发生在边壁沿程不变的管段，与管长成正比，也称长度损失。
局部损失 $h_m$
$$h_m = \zeta \cdot \frac{v^2}{2g}$$
总损失：$h_l = \sum h_f + \sum h_m$
$\zeta$ 由实验测定
局部损失集中在边界急剧变化的区域（进口、弯头、阀门等），由旋涡和流速方向/大小变化引起。
107页 · 尼古拉兹实验五区
| 区 | 名称 | Re范围 | λ 规律 | 物理特征 |
|---|---|---|---|---|
| I | 层流区 | $<2000$ | $\lambda=\dfrac{64}{Re}$ | 所有管道实验点集中于一根直线，$\lambda$ 仅与 $Re$ 有关 |
| II | 临界区 | $2000\sim4000$ | λ 随 Re 增大 | 层流→紊流过渡，不稳定 |
| III | 紊流光滑区 | $>4000$ | $\lambda=f(Re)$ | 层流底层厚度 $\delta > K$，粗糙突起被掩盖 |
| IV | 紊流过渡区 | — | $\lambda=f(Re,K/d)$ | $\delta \approx K$，粗糙突起开始影响 |
| V | 阻力平方区/粗糙区 | — | $\lambda=f(K/d)$ | $\delta < K$，$\lambda$ 与 $Re$ 无关，$h_f \propto v^2$ |
莫迪图（112页图4-4）应用步骤：①算 $Re=\dfrac{vd}{\nu}$ ②查 $K$ 算 $K/d$ ③查图读 $\lambda$。
柯氏公式（紊流三区通用）：$\dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}=-2\lg\!\!\left(\dfrac{K}{3.7d}+\dfrac{2.51}{Re\sqrt{\lambda}}\right)$
柯氏公式（紊流三区通用）：$\dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}=-2\lg\!\!\left(\dfrac{K}{3.7d}+\dfrac{2.51}{Re\sqrt{\lambda}}\right)$
例 4-7
工业管道沿程水头损失（112页）
▼
题目：在管径 $d=300\text{mm}$、相对粗糙度 $K/d=0.002$ 的工业管道内，运动黏度 $\nu=1\times10^{-6}\text{m}^2\text{/s}$、密度 $\rho=999.23\text{kg/m}^3$ 的水以 $3\text{m/s}$ 的速度运动。求管长 $l=300\text{m}$ 的沿程水头损失 $h_f$。
本题是沿程损失计算的完整流程：①计算雷诺数判别流态 ②确定阻力区 ③查莫迪图或用公式求λ ④代入达西公式求 $h_f$。
Step 1 计算雷诺数：$$Re = \frac{vd}{\nu} = \frac{3 \times 0.3}{1 \times 10^{-6}} = 9 \times 10^5 \gg 2000\;\text{（紊流）}$$
Step 2 确定λ：$K/d = 0.002$，查莫迪图（图4-4或图4-14），得 $\lambda \approx 0.0238$，处于粗糙区。
也可用希弗林松公式验证：$$\lambda = 0.11\left(\frac{K}{d}\right)^{0.25} = 0.11 \times 0.002^{0.25} = 0.11 \times 0.2115 = 0.0233$$ 或用柯氏公式计算得 $\lambda = 0.0235$。三种方法结果接近。
也可用希弗林松公式验证：$$\lambda = 0.11\left(\frac{K}{d}\right)^{0.25} = 0.11 \times 0.002^{0.25} = 0.11 \times 0.2115 = 0.0233$$ 或用柯氏公式计算得 $\lambda = 0.0235$。三种方法结果接近。
Step 3 代入达西公式：$$h_f = \lambda \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g} = 0.0238 \times \frac{300}{0.3} \times \frac{3^2}{2 \times 9.8} = 0.0238 \times 1000 \times 0.4592 = \mathbf{10.92\text{m}}$$
结论：$h_f = 10.92\text{m}$。查图与公式计算结果接近。
计算流程：$Re$ → 判流态 → 查/算 $\lambda$ → 达西公式求 $h_f$。
计算流程：$Re$ → 判流态 → 查/算 $\lambda$ → 达西公式求 $h_f$。
例 4-8
管径增大一倍，流量增大倍数（112页）
▼
题目：管道长度不变，允许水头损失 $h_f$ 不变，若管径增大一倍（$d_2 = 2d_1$），不计局部损失，求流量增大的倍数。分别讨论层流、紊流光滑区、紊流粗糙区三种情况。
本题的核心是利用 $h_f$ 不变的条件，推导 $Q$ 与 $d$ 的关系。关键在于不同流区 $\lambda$ 的表达式不同，导致 $Q \propto d^n$ 中的幂次 $n$ 不同。
基本关系：$$h_f = \lambda \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g} = \lambda \frac{l}{d} \cdot \frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi d^2}\right)^2 = \frac{8\lambda l Q^2}{\pi^2 g d^5}$$ 当 $h_f$、$l$ 不变时：$$Q \propto \frac{d^{5/2}}{\sqrt{\lambda}}$$
(1) 层流：$\lambda = \dfrac{64}{Re} = \dfrac{64\nu}{vd}$，代入达西公式：$$h_f = \frac{64\nu}{vd} \cdot \frac{l}{d} \cdot \frac{v^2}{2g} = \frac{32\nu l v}{gd^2}$$ 又 $v = \dfrac{4Q}{\pi d^2}$，故 $Q \propto d^4$。$$\frac{Q_2}{Q_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4 = 2^4 = \mathbf{16\text{ 倍}}$$
(2) 紊流光滑区：$\lambda = \dfrac{0.3164}{Re^{0.25}} = \dfrac{0.3164\nu^{0.25}}{v^{0.25}d^{0.25}}$，代入整理得：$$Q \propto d^{19/7}$$ $$\frac{Q_2}{Q_1} = 2^{19/7} = 2^{2.714} \approx \mathbf{6.56\text{ 倍}}$$
(3) 紊流粗糙区：$\lambda = 0.11\!\left(\dfrac{K}{d}\right)^{0.25}$，$\lambda$ 仅与 $K/d$ 有关，$d$ 增大一倍时 $\lambda$ 也变化：$$Q \propto d^{5/2} \cdot d^{1/8} = d^{21/8}$$ $$\frac{Q_2}{Q_1} = 2^{21/8} = 2^{2.625} \approx \mathbf{6.17\text{ 倍}}$$
结论：层流16倍，紊流光滑区约6.56倍，紊流粗糙区约6.17倍。
规律：增大管径可显著增大流量，层流效果最明显（$Q\propto d^4$）。工程上增大管径是提升流量的有效手段。
规律：增大管径可显著增大流量，层流效果最明显（$Q\propto d^4$）。工程上增大管径是提升流量的有效手段。
Chapter 07
不可压缩流体动力学基础
核心：亥姆霍兹速度分解定理——微团运动 = 平移 + 旋转 + 线变形 + 角变形。该定理将旋转运动从复杂运动中分离出来，使有旋流动与无旋流动可以分别研究；将变形运动分离出来，为黏性流体运动规律的研究奠定了基础。
178~179页 · 三种表达式
线变形速度（式7-1）
单位时间、单位长度的线变形。正值为伸长，负值为缩短。$$\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x},\quad \varepsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial y},\quad \varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z}$$
单位时间、单位长度的线变形。正值为伸长，负值为缩短。$$\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x},\quad \varepsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial y},\quad \varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z}$$
旋转角速度分量（式7-2）
定义为对角线的旋转角速度，等于两条直角边旋转角速度的平均值。$$\omega_x=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\right),\quad \omega_y=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x}\right),\quad \omega_z=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)$$
定义为对角线的旋转角速度，等于两条直角边旋转角速度的平均值。$$\omega_x=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\right),\quad \omega_y=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x}\right),\quad \omega_z=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)$$
角变形速度（式7-3）
定义为直角边与对角线夹角的变形速度。$$\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right),\quad \varepsilon_{yz}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right),\quad \varepsilon_{zx}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)$$
定义为直角边与对角线夹角的变形速度。$$\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right),\quad \varepsilon_{yz}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right),\quad \varepsilon_{zx}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)$$
易混点：角变形速度 $\varepsilon_{xy}=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\partial u_y}{\partial x}+\dfrac{\partial u_x}{\partial y}\right)$ 与牛顿内摩擦定律中的直角变形速度 $\dot{\gamma}=\dfrac{\partial u_y}{\partial x}+\dfrac{\partial u_x}{\partial y}$ 的关系——后者是前者的 2 倍！$$\tau = \mu \dot{\gamma} = \mu \cdot 2\varepsilon_{xy}$$
亥姆霍兹速度分解（式7-4）$$u_x = u_{x0} + \underbrace{\varepsilon_{xx}\,dx}_{\text{线变形}} + \underbrace{(-\omega_z\,dy + \omega_y\,dz)}_{\text{旋转}} + \underbrace{(\varepsilon_{xy}\,dy + \varepsilon_{xz}\,dz)}_{\text{角变形}}$$ 右边第一项为平移速度，之后依次为线变形、旋转、角变形引起的速度增量。
例 7-2
判断流动是否有旋（181页）
▼
题目：已知平面流动的流速分布，判断流动是否有旋：(1) $u_r=0,\;u_\theta=k/r$；(2) $u_x=-ky,\;u_y=kx$。
有旋/无旋的判断标准唯一：旋转角速度 $\omega$ 是否为零。与流线形状无关！圆周流可能无旋，直线流可能有旋。
情况(1)：$u_r=0,\;u_\theta=k/r$（环流型，流线为同心圆周）
转换为直角坐标：$$u_x = u_r\cos\theta - u_\theta\sin\theta = -\frac{k}{r}\sin\theta = -\frac{ky}{x^2+y^2}$$ $$u_y = u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta = \frac{k}{r}\cos\theta = \frac{kx}{x^2+y^2}$$ 计算旋转角速度：$$\omega_z = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) = \frac{1}{2}\left[\frac{k(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}-\frac{k(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\right] = \mathbf{0}$$ 无旋！虽然流线是圆周，但流体微团本身不旋转。
转换为直角坐标：$$u_x = u_r\cos\theta - u_\theta\sin\theta = -\frac{k}{r}\sin\theta = -\frac{ky}{x^2+y^2}$$ $$u_y = u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta = \frac{k}{r}\cos\theta = \frac{kx}{x^2+y^2}$$ 计算旋转角速度：$$\omega_z = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) = \frac{1}{2}\left[\frac{k(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}-\frac{k(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\right] = \mathbf{0}$$ 无旋！虽然流线是圆周，但流体微团本身不旋转。
情况(2)：$u_x=-ky,\;u_y=kx$（流线为直线族）
$$\omega_z = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) = \frac{1}{2}(k-(-k)) = k \neq 0$$ 有旋！虽然流线是直线，但流体微团在旋转。
$$\omega_z = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) = \frac{1}{2}(k-(-k)) = k \neq 0$$ 有旋！虽然流线是直线，但流体微团在旋转。
对比分析：
情况(1)：$u_\theta = k/r$，远离中心处流速减小，流速梯度使得微团一侧快一侧慢，恰好抵消了整体旋转的趋势，微团保持不旋转。
情况(2)：$u_x=-ky, u_y=kx$，流速线性分布，微团两侧速度差导致整体旋转。
情况(1)：$u_\theta = k/r$，远离中心处流速减小，流速梯度使得微团一侧快一侧慢，恰好抵消了整体旋转的趋势，微团保持不旋转。
情况(2)：$u_x=-ky, u_y=kx$，流速线性分布，微团两侧速度差导致整体旋转。
结论：(1) $\omega_z=0$，无旋；(2) $\omega_z=k\neq0$，有旋。
核心原则：有旋/无旋仅取决于 $\omega$ 是否为零，与流线形状无关！
"流线是圆周"≠有旋；"流线是直线"≠无旋。
核心原则：有旋/无旋仅取决于 $\omega$ 是否为零，与流线形状无关！
"流线是圆周"≠有旋；"流线是直线"≠无旋。
189页 · 纳维-斯托克斯方程
不可压缩黏性流体运动微分方程（N-S方程，式7-15/7-17）$$\rho\frac{du_x}{dt} = \rho X - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2}\right)$$ $$\rho\frac{du_y}{dt} = \rho Y - \frac{\partial p}{\partial y} + \mu\left(\frac{\partial^2 u_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_y}{\partial z^2}\right)$$ $$\rho\frac{du_z}{dt} = \rho Z - \frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left(\frac{\partial^2 u_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right)$$
N-S方程各项含义：左边为惯性力（质量×加速度），右边依次为质量力、压力梯度、黏性力。N-S方程 + 连续性方程 = 4个方程、4个未知量（$u_x,u_y,u_z,p$），原则上可解。但N-S方程是二阶非线性偏微分方程，解析求解非常困难，仅在极少数简单流动情况下有解析解。
随体导数形式（式7-17）：加速度展开为时变加速度 + 位变加速度：$$\frac{du_x}{dt} = \underbrace{\frac{\partial u_x}{\partial t}}_{\text{时变（当地）}} + \underbrace{u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}+u_y\frac{\partial u_x}{\partial y}+u_z\frac{\partial u_x}{\partial z}}_{\text{位变（迁移）}}$$
Chapter 08
流体运动基本方程的求解
189页 · 核心方程
速度势函数 $\varphi$（§8.1.1）
无旋条件 $\omega=0$ → 存在速度势函数 $\varphi$：$$u_x=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\quad u_y=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\quad u_z=\frac{\partial\varphi}{\partial z}$$ 代入不可压缩连续性方程得拉普拉斯方程：$$\nabla^2\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0$$ 势函数 $\varphi$ 是调和函数。速度在任一方向 $s$ 的分量 $u_s = \dfrac{\partial\varphi}{\partial s}$。
无旋条件 $\omega=0$ → 存在速度势函数 $\varphi$：$$u_x=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\quad u_y=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\quad u_z=\frac{\partial\varphi}{\partial z}$$ 代入不可压缩连续性方程得拉普拉斯方程：$$\nabla^2\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0$$ 势函数 $\varphi$ 是调和函数。速度在任一方向 $s$ 的分量 $u_s = \dfrac{\partial\varphi}{\partial s}$。
流函数 $\psi$（§8.1.2）
不可压缩平面流动自动满足连续性方程，可定义：$$u_x=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad u_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$ 性质：①等 $\psi$ 线 = 流线 ②两流线间 $\Delta\psi$ = 单宽流量 ③一切不可压缩平面流动都存在 $\psi$（无论有旋无旋） ④但只有无旋流动才存在 $\varphi$
不可压缩平面流动自动满足连续性方程，可定义：$$u_x=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad u_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$ 性质：①等 $\psi$ 线 = 流线 ②两流线间 $\Delta\psi$ = 单宽流量 ③一切不可压缩平面流动都存在 $\psi$（无论有旋无旋） ④但只有无旋流动才存在 $\varphi$
流网（§8.1.3）
等势线簇 $\varphi=C$ 与流线簇 $\psi=C$ 构成正交网格。
性质：①流线⊥等势线 ②$\Delta\psi$=相邻两流线间单宽流量 ③网格边长维持定比 $\dfrac{dn}{dm}=\dfrac{d\varphi}{d\psi}$
$\varphi$ 与 $\psi$ 互为共轭调和函数（柯西-黎曼条件）
等势线簇 $\varphi=C$ 与流线簇 $\psi=C$ 构成正交网格。
性质：①流线⊥等势线 ②$\Delta\psi$=相邻两流线间单宽流量 ③网格边长维持定比 $\dfrac{dn}{dm}=\dfrac{d\varphi}{d\psi}$
$\varphi$ 与 $\psi$ 互为共轭调和函数（柯西-黎曼条件）
例 8-1
求势函数和流函数（197页）
▼
题目：已知平面流动速度分布 $u_x=x^2-y^2$，$u_y=-2xy$。判断：(1)是否满足连续性方程；(2)是否有旋；(3)若存在势函数和流函数，求之。
本题是势函数和流函数求解的完整流程。核心技巧：利用曲线积分与路径无关的条件，沿坐标轴平行折线积分（从原点出发，先沿x轴再沿y轴）。
Step 1 连续性方程：$$\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=2x+(-2x)=0\;\checkmark$$ 满足不可压缩平面流动连续性方程，流动存在流函数 $\psi$。
Step 2 有旋/无旋：平面流动，$\omega_x=\omega_y=0$，只需计算 $\omega_z$：$$\omega_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)=\frac{1}{2}(-2y-(-2y))=0\;\checkmark$$ 流动无旋，存在速度势函数 $\varphi$。
Step 3 求速度势函数 $\varphi$：由 $d\varphi = u_x\,dx + u_y\,dy = (x^2-y^2)\,dx + (-2xy)\,dy$
沿折线积分 $(0,0)\to(x,0)\to(x,y)$：$$\varphi = \int_0^x (x^2-0)\,dx + \int_0^y (-2xy)\,dy = \frac{x^3}{3} + (-2x)\cdot\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3}-xy^2$$
沿折线积分 $(0,0)\to(x,0)\to(x,y)$：$$\varphi = \int_0^x (x^2-0)\,dx + \int_0^y (-2xy)\,dy = \frac{x^3}{3} + (-2x)\cdot\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3}-xy^2$$
验证 $\varphi$：$$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=x^2-y^2=u_x\;\checkmark\qquad\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-2xy=u_y\;\checkmark$$
Step 4 求流函数 $\psi$：由 $d\psi = u_x\,dy - u_y\,dx = (x^2-y^2)\,dy - (-2xy)\,dx = (x^2-y^2)\,dy + 2xy\,dx$
沿折线积分 $(0,0)\to(x,0)\to(x,y)$：$$\psi = \int_0^x 2x\cdot0\,dx + \int_0^y (x^2-y^2)\,dy = 0 + x^2 y - \frac{y^3}{3} = x^2 y-\frac{y^3}{3}$$
沿折线积分 $(0,0)\to(x,0)\to(x,y)$：$$\psi = \int_0^x 2x\cdot0\,dx + \int_0^y (x^2-y^2)\,dy = 0 + x^2 y - \frac{y^3}{3} = x^2 y-\frac{y^3}{3}$$
验证 $\psi$：$$\frac{\partial\psi}{\partial y}=x^2-y^2=u_x\;\checkmark\qquad\frac{\partial\psi}{\partial x}=2xy=-u_y\;\checkmark$$ （注意 $u_y=-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}$）
结论：$\varphi=\dfrac{x^3}{3}-xy^2$，$\psi=x^2y-\dfrac{y^3}{3}$。
求解技巧：沿坐标轴平行折线积分，将曲线积分化为定积分。被积函数在原点有定义时，取起点为(0,0)最方便。
验证方法：将 $\varphi$、$\psi$ 的偏导数与已知速度分量对比。
求解技巧：沿坐标轴平行折线积分，将曲线积分化为定积分。被积函数在原点有定义时，取起点为(0,0)最方便。
验证方法：将 $\varphi$、$\psi$ 的偏导数与已知速度分量对比。
APPENDIX
公式速查表
静力学基本方程
$p=p_0+\rho gh$静止、同种、连续
测压管水头
$Z+\dfrac{p}{\rho g}=C$静止液体
相对压强 / 真空度
$p=p'-p_a$，$p_v=p_a-p'$—
平面静水总压力
$P=\rho gh_c A$任意平面
压力中心
$y_D=y_c+\dfrac{I_c}{y_c A}$—
流线微分方程
$\dfrac{dx}{u_x}=\dfrac{dy}{u_y}=\dfrac{dz}{u_z}$—
迹线微分方程
$\dfrac{dx}{dt}=u_x$，$\dfrac{dy}{dt}=u_y$以 $t$ 为参数
连续性方程
$v_1A_1=v_2A_2$不可压缩恒定流
伯努利方程
$Z+\dfrac{p}{\rho g}+\dfrac{\alpha v^2}{2g}+h_l=C$实际总流
动量方程
$\sum\vec{F}=\rho Q(\beta_2\vec{v}_2-\beta_1\vec{v}_1)$恒定流，常取 $\beta=1$
雷诺数
$Re=\dfrac{vd}{\nu}$圆管
沿程损失
$h_f=\lambda\dfrac{l}{d}\dfrac{v^2}{2g}$达西公式
局部损失
$h_m=\zeta\dfrac{v^2}{2g}$—
层流 λ
$\lambda=\dfrac{64}{Re}$$Re<2000$
布拉修斯
$\lambda=\dfrac{0.3164}{Re^{0.25}}$光滑区 $Re<10^5$
希弗林松
$\lambda=0.11\!\left(\dfrac{K}{d}\right)^{0.25}$粗糙区
柯氏公式
$\dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}=-2\lg\!\left(\dfrac{K}{3.7d}+\dfrac{2.51}{Re\sqrt{\lambda}}\right)$紊流三区通用
当量直径
$d_e=\dfrac{4A}{\chi}$非圆管
线变形速度
$\varepsilon_{xx}=\dfrac{\partial u_x}{\partial x}$式7-1
旋转角速度
$\omega_z=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\partial u_y}{\partial x}-\dfrac{\partial u_x}{\partial y}\right)$式7-2
角变形速度
$\varepsilon_{xy}=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\partial u_y}{\partial x}+\dfrac{\partial u_x}{\partial y}\right)$式7-3，$\dot{\gamma}=2\varepsilon_{xy}$
速度势定义
$u_x=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}$，$u_y=\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}$无旋流动
流函数定义
$u_x=\dfrac{\partial\psi}{\partial y}$，$u_y=-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}$平面不可压缩
拉普拉斯方程
$\nabla^2\varphi=\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=0$平面无旋
N-S方程
$\rho\dfrac{du_x}{dt}=\rho X-\dfrac{\partial p}{\partial x}+\mu\nabla^2 u_x$不可压缩黏性流体